تعريف الأعداد الأولية
إنها أعداد لا نهائية، ليس لها نهاية لمسارها، ويتم تعريفها على أنها أرقام غير قابلة للتجزئة باستثناء رقمين فقط نفس الرقم أو رقم واحد دون ترك كسور بعد القسمة. أما بالنسبة للأرقام التي تقبل القسمة على أرقام غير نفس وليس واحد، فهي تسمى الأعداد المركبة أو الأعداد غير الأولية، وفي عملية حسابية سهلة وبسيطة، يمكننا تحديد محددات الأعداد الأولية والأعداد غير الأولية، من خلال الأتى:
- الأعداد الأولية من 1 إلى 100 هي تلك الأعداد التي تصادفها أثناء رحلتك، وتعُد من واحد إلى مائة عدد صحيح، ولا تجد أنه يمكن تقسيمها إلا على نفسها أو على العدد الصحيح رقم واحد، مثل الرقمين 15 و 19، على سبيل المثال، هم أحد الأعداد الأولية حيث يقبلون فقط القسمة على أنفسهم أو على اليمين دون تركهم.
- لكن إذا قبلت الأعداد الصحيحة أثناء رحلتك للعد من واحد إلى مائة، فستقبل القسمة والقسمة إلى أعداد أخرى بدون باقي، لأنها أعداد غير أولية، أو (مركب)، على سبيل المثال: الرقم 24 هو رقم مركب لأنه يقبل القسمة على 3 و 8 و 12 بدون باقي.
- أما بالنسبة لأصغر الأعداد الأولية فهو الرقم 2، ولا يوجد غيره من الأعداد الأولية الزوجية، في حين أن كل الأعداد الأولية باستثناءها فردية.
- الرقم 8 ليس عددًا أوليًا ؛ لأنه يقبل القسمة على 1، 2، 4، 8، والرقم 7 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه، أو أن الرقم واحد بدون باقي.
- العددين، صفر وواحد، بعيدان بشكل منفرد عن الأعداد الأولية والأرقام المركبة، لذلك لا يمكن تسمية أي منهما برقم أولي أو رقم مركب.
متى تعرف الأعداد الأولية؟
في بحثنا عن الأعداد الأولية من 1 إلى 100، نتذكر الرحلة التاريخية للأعداد الأولية على النحو التالي:
- لا يُعرف بالضبط ما هي الحضارة التي تُنسب إليها اكتشاف الأعداد الأولية، بينما تشير بعض الخوارزميات إلى أن المصريين القدماء كانوا أول من عرفهم وكتبوها على معابدهم وأوراق البرديات لأكثر من أربعة آلاف عام.
- بينما تشير بعض الدراسات إلى أن أول من استخدم الأعداد الأولية بشكل صحيح هم اليونانيون قبل ألفي وخمسمائة عام، حيث اشتهر عالم الرياضيات اليوناني إقليدس وإراتوستينس باستخدام هذه الأرقام في كتاباتهم والإشارة إليها.
- أما الرومان فقد اكتفوا بما تعلموه ونقلوه من اليونانيين وعلمائهم، ولم يضيفوا شيئًا جديدًا لما تعلموه عن الأعداد الأولية والمركبة كما عرفها الإغريق.
- أما العرب فقد كانوا على علم بما تركه اليونانيون، فتعلموا منه وزادوه. هناك إضافات عربية ملموسة للأرقام والأرقام. ربما يُنسب إليهم الفضل في تبسيط العمل الحسابي. كان ابن قرة أول عالم عربي تحدث عن العلاقة بين الأعداد الأولية والمتتالية.
استخدام الأعداد الأولية
- تُستخدم الأرقام الأولية لتشفير البيانات الإلكترونية، كما تُستخدم لحماية المعاملات المصرفية من القرصنة والسطو وإلحاق الأذى بالعملاء.
- تستخدم أيضًا للأرقام الأولية سجلات حركة المرور إلى مواقع الويب وصفحات العمل أو وسائل التواصل الاجتماعي.
- الطريقة المستخدمة للتشفير بواسطة الأعداد الأولية هي عن طريق تشفيرها بأرقام أولية عادية ينتج عنها رقمان أوليان كبيران، وهما مثل المفتاح أو كلمة المرور أو المرور أو كلمة المرور، ويسمى أحيانًا كلمة المرور وأحيانًا يطلق عليه المفتاح كلمة، وبالتالي يقطع العميل الطريق لاختراق تلك البيانات باستثناء معرفة الأعداد الأولية.
خصائص وصفات الأعداد الأولية
الأعداد الأولية من 1 إلى 100 أو أكثر لها العديد من الخصائص التي تجعلها أرقامًا مهمة، ومن أبرزها:
- يتم توزيع الأعداد الأولية بطريقة غير منسقة وغير مرتبة، والسبب في ذلك يكمن في العدد الذي فهمه علماء الطبيعة والرياضيات حتى اللحظة آلية قسمة الأعداد الأولية بهذه الطريقة، فمن المعروف أنه كلما زاد العدد الأولي، اتسعت الفجوة بينها وبين الأرقام والأرقام التي تليها.
- تتميز الأعداد الأولية بالتعقيد والتداخل، على عكس الأرقام الفردية أو المزدوجة التي يعبر كل منها عن رقم معين، حيث تتميز بالبساطة.
- لا تبدأ الأعداد الأولية بالرقم 1، لأنه رقم لا يهتم بكل من الأعداد الأولية والمركبة، ولكن الرقم الأولي الأول الذي تكون فيه الشروط الأولية التي غطيناها في التعريف هي الرقم 2.
- إحدى خصائص الأعداد الأولية أنها كلها أعداد فردية باستثناء الرقم 2، وهو الرقم الزوجي الوحيد داخل الأعداد الأولية.
- تنتهي جميع الأعداد الأولية باستثناء العددين (2.5) بأحد الأرقام التالية (9، 7، 3، 1) ؛ وذلك لأن الأعداد الأولية التي تنتهي بالأرقام (8، 6، 4، 2، 0) هي في الأصل مضاعفات الرقم 2، لذلك لا تعتبر أعدادًا أولية لأنها يمكن تقسيمها وقابلة للقسمة إلى أعداد غير نفس العدد و ليس واحدًا، لكن الأعداد الأولية التي تنتهي بكسور هي مضاعفات الرقم 5 ليست أولية أيضًا.
الأعداد الأولية من 1 إلى 1000
- قدم لنا أستاذ الرياضيات في إحدى أكبر الجامعات الأمريكية، جامعة ميسوري، مؤخرًا، البروفيسور كيرتس كوبر، أكبر عدد أولي وصل إليه، حيث ذكر حوالي اثنين وعشرين مليونًا من الأعداد الأولية، بينما كان الرقم قبله تم إيقافه منذ فترة طويلة إلى خمسة ملايين رقم.
وبعد أن أدركنا ماهية الأعداد الأولية والفرق بينها وبين الأعداد المركبة نذكر جدول الأعداد الأولية وهنا نشعر بالرضا عن جدول الأعداد الأولية من 1 إلى 100 وهي:
(2/3/5/7/11/13/17/19/23/29/31/37/41/43/47/53/59/61/67/71/73/79/83/89/97 )
طريقة تحديد العدد الأولي
هناك العديد من الطرق التي تستخدم في تحديد الأعداد الأولية، ومن أبرز هذه الطرق:
اختبار غابرييل إراتوستينس
- تعتمد هذه الطريقة على رسم مضاعفات 2 حتى 100 بحيث يتم تقسيم الأرقام من 2 إلى 100 إلى فئتين. في مضاعفات العدد 2، تكون معقدة، ولا يعد أيًا من مضاعفات الرقم 2 أساسيًا.
- على سبيل المثال: إذا أردنا تحديد الأعداد الأولية الأقل من مائة، فلنفترض، على سبيل المثال، أن B = 2 وبالتأكيد هو أقل عدد أولي، والمبدأ الذي نحدد فيه جميع الأعداد الأقل من مائة مضاعفات العدد 2 حتى الرقم 100 بالتالي: B = (2/4/6/8 / … إلخ 100).
اختبار مرسين
- وهو من الاختبارات الصعبة المشتتة التي تتطلب متخصصاً في إحصائياته، حيث يحتوي على معادلة برموز وأرقام لا يستطيع الشخص العادي القيام بها.
- حيث يفترض Merceny أن (mL = 2l – 1، حيث L هو رقم أولي، و M = 23 X 89 هو رقم مركب)، حيث أشار Merceni إلى أن قيمة L = 216.091.
- كما نرى، إنها طريقة معقدة تفتقر إلى السهولة والبساطة وتتطلب معلمين في الرياضيات، ومن ثم نشعر بالرضا عن الطريقة الأولى للوصول إلى معرفة الأعداد الأولية.
في ختام موضوعنا عن الأعداد الأولية من 1 إلى 100، تعلمنا من خلالها كل ما يتعلق بالأعداد الأولية والفرق بينها وبين الأعداد المركبة، وخصائص الأعداد الأولية وما تتميز به، وكيفية جمعها و تحديدها بدقة. باختصار، نشير إلى أن الأعداد الأولية الأقل من 100 هي: (97، 89، 83، 79، 73، 71، 67، 61، 59، 53، 47، 43، 41، 37، 31، 29، 23، 19، 17، 13، 11، 7، 5، 3، 2)، إلخ. من بينها الأعداد الناقصة التي تمثل الأعداد المركبة أو غير الأولية.